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《九章算术》是我国古代数学的伟大成就，也是中国古代数学思想的奠基之作。其内容涵盖了分数的四则运算、开平方立方算法、基本几何图形面积和体积的计算、圆周率的近似估计、勾股定理的证明及应用、比例计算、多项比例分配问题的计算、二元线性关系的求法以及多元线性方程组的解法等，并通过“率”“以赢补虚”“无穷逼近”等思想将这些内容有机地结合了起来。本书除了忠实地翻译了《九章算术》的原文外， 希望通过对刘徽注的解读，较通俗地向读者介绍《九章算术》的内容和思想。

《九章算术注》序　　／１

《九章算术注》序通译　　／１

卷一　方田　　／１

卷二　粟米　　／４１

卷三　衰分　　／６１

卷四　少广　　／７９

卷五　商功　　／１１４

卷六　均输　　／１５８

卷七　盈不足　　／２０２

卷八　方程　　／２３４

卷九　勾股　　／２６６

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本书原文历经两千多年辗转抄录、翻刻，其作者和出处已无法考证，故作者标记为佚名。

  本书采用了刘徽对原文的注释内容。刘徽（约225年—约295年），三国时期魏国人，中国古代伟大的数学家，中国古典数学的奠基人之一。著有《九章算术注》和《海岛算经》。

  本书的译者为希格玛工作室由多名数学爱好者组成。工作室成员均为数学专业科班毕业，有较好的数学专业功底；且有一定的英语交流与写作能力。曾翻译出版了《密码俱乐部》。

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壹．《九章算术》的历史作为中国传统数学 重要的典籍，《九章算术》一书本身的起伏，似乎就对应着中国古典科技文化的兴衰。

    《九章算术》原文采用“题（问题加答案）—术（算法）”的形式，从各种史料来看，其中的很大一部分问题和算法成型于春秋战国 ，正是中国古代思想文化 繁荣的时期。到秦朝，秦始皇焚书坑儒，而《九章算术》也“经术散坏”。到西汉，汉文帝刘恒修生养息、兴修水利，于是有北平侯、丞相张苍，汉宣帝刘询劝课农桑、通漕渠、设常平，于是有大司农中丞耿寿昌，此二人等对《九章算术》“因旧文之遗残，各称删补”。按考证， 流传的《九章算术》原文应成书于公元1世纪下半叶，彼时正是将东汉推向鼎盛的“明章之治”, 大兴学校，思想政治开明，文化经济繁荣。到曹魏后期，中国北方在战乱后经过几十年的发展生产，科技水平有了长足的进步，在机械、地理、数学等各方面都出现了奠基性的工作，其中就有刘徽为《九章算术》作注，整理解释了《九章算术》中的算法，以“率”、“勾股”、“盈补”等几个基本思想为逻辑基础，对《九章算术》做了系统的阐述。从此通行的《九章算术》都采用“题—术—注”的形式。《九章算术》刘徽注奠定了中国古代数学的理论基础，并进一步确立了中国古代数学“基于用、重算法、机械化”的传统。《九章算术》从此成为“中国古算经之首”，在此后一千年中，没有能在深度、广度和影响力上都超过它的数学著作 。可以说，以刘徽注《九章算术》为标志，中国传统数学终于汇源流而成河。

    在从隋唐至宋元的中国文明成熟和繁荣时期，《九章算术》既扮演了官方数学高等教材的角色，在形式、风格、思想上也是各家数学新著的范本。唐李淳风在刘徽的基础上再注《九章算术》，并与其他几部数学著作合编为《算经十书》，从此成为历代通行的官方数学教材。而从隋唐到北宋之间的数学著作，形式体例基本沿用《九章算术》，但除了祖冲之父子失传的《缀术》外，无能出其右者。直到北宋贾宪，作《黄帝九章算经细草》，终于对《九章算术》做了进一步的深耕和注释图解（草），特别又对理论部分进行了抽象。到宋朝中国传统文化兴盛，又“尊崇算学，科目渐兴” ，中国古代数学发展至 。贾宪之后又有宋元四大家：秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，分别著有《数书九章》、《测圆海镜》、《杨辉算法》、《四元玉鉴》等，是中国古代数学 成就的代表。这些著作的总成就在各方面都已超过《九章算术》，但都或多或少的保留了《九章算术》的体例，并在《九章算术》设立的框架下展开讨论。 重要的是，他们都遵循并发展了《九章算术》及刘徽（贾宪）所建立的“实际问题—机械算法—抽象说理”中国数学传统 。由《九章算术》所开之河虽见拓宽，却不曾改道。

    到明清两代，随着中国社会发展的内驱力渐渐不足，科学技术的发展慢慢停滞。在此期间，贾宪的工作基本佚失，只留在杨辉著作中的引用；宋版《九章算术》及刘徽注近乎失传，所幸在明《永乐大典》中尚有保留，并有残卷流传于藏家之手。但其时中国数学水平一落千丈，抄本多有错误，其中如“盈不足术”之类的 算法几乎已无人能解。明末大数学家徐光启在《勾股义》中谈及《九章算术》勾股部分时言道：“旧九章中亦有之……所立诸法无陋不堪读” ，想见徐光启本人应未读到《九章算术》真本。在作为帝制时代回光返照的清中叶，中国古典数学有过短暂复兴，先有戴震从《永乐大典》中辑出《九章算术》并做了勘校，使其得以重见天日，后又有李潢、焦循等人为戴本《九章算术》作注、说。虽然此诸公所著中多有疏漏错妄，却为《九章算术》能够流传至今做出了巨大的贡献，可谓功莫大焉。但此时中华古典文化源头生机将尽，内生的技术发展动力已竭，中国传统数学因其“基于用”的本性,在无外部刺激的情况下亦是沉疴难起。所以《九章算术》及刘徽注虽得以传世，却终于少人问津。

    中国传统数学从元中叶起便陷于停滞， 早认识到这一点并做出明确反应的可能是徐光启。徐光启对此提出了内外两方：对内，他强调将传统数学“基于用”的传统 进一步，赋予数学 独立的意义，为“不用之用，万用之基”；对外，他翻译引入欧几里得《几何原本》，强调公理系统和逻辑演绎。以 之眼光，徐光启的思想可谓真知灼见，可惜当时并未得到重视。清代有学者引进西方数学，却欲将其简单地纳入《九章算术》的分类框架之中，可谓削足适履，只得其形而已。自晚清起，中国沉沦逾百年，国之大变，国人受西方之害，又不得不求学于西方，于是其间文化鼎故、科技革新皆来源于外，数学不能例外。徐光启和伽利略（Galilei）几乎同龄，但从此二人之后，中国传统数学河水渐枯，而西方数学渐盛。自伽利略后，西方笛卡尔(Descartes)、费马（Fermat）、莱布尼兹（Leibniz）、牛顿（Newton）等大师不 ，可谓群星璀璨，之后的三百余年中，西方数学早已成独立之洪流，蔚为大观。如此洪流引入中国，固然使渠道畅通，但中国传统数学却似乎从此无用。两千年脉脉长河，仿若死水，偶有微澜，往往是有旧日闪光，恰能作为西方成就的注解而已。

    随着民族觉醒，有识之士不甘传统沦落。二十世纪二十到七十年代，有钱宝琮、李俨两位大师发掘整理中国古代数学典籍，乃为中国数学史奠基。其初心是为正本清源，重新确立中国传统数学应有的地位，提升民族科学自信，于是其中对《九章算术》的研究必然是重中之重。特别有钱宝琮先生对戴震、李璜等人的《九章算术》做了严谨科学的校勘，成为之后《九章算术》研究的基础。二十世纪末三十年，中国重归世界强国之列，经济腾飞之余，文化复兴的需求亦高涨。于是在钱、李等大师的基础上，又有吴文俊、李继闵、郭书春等先生对《九章算术》及刘徽注作 进一步的研究，其工作大致可分为三个方向：一是结合新发掘的文献史料对文本做细致的校正考据,以复其旧观；二是阐发其数学成就，溯洄查其源，以得其精神，溯游观其流，以沟通中西；三是以“古证复原” 之方法，探索其数学思想，体察其内在逻辑。此三者，一为基础，二为表现，三为内核。经过一代学者的努力，不但《九章算术》中勾股、正负、盈不足等算法的伟大成就再一次为世人所知，中国古代数学之独立地位的重新获得承认， 明确了中国古代数学曾通过印度、中亚而深刻影响西方 。所以现代数学并非独立起源于西方，中国古代数学也并非有始无终的内河，而是早有分流，如支流注入现代数学之中。

    贰．理解《九章算术》2020年，《九章算术》作为 的一本中国古代数学经典入选了 《中小学生阅读指导目录》的初中部分 。在与《九章算术》相关的厚重文明史中，这算是一次清脆的回响。以 中国文化复兴之势，让中学生有机会了解和学习《九章算术》这一部中国古典学术巨著，本就是顺理成章的事。再就 的教育方针，《九章算术》是推进民众阅读不可缺少的材料，特别地，对培养学生爱国情怀、加强学生品德修养、增长学生知识见识，可谓当之无愧的应时之选。但若是回到《九章算术》文本及数学本身，恐怕还是需要讲一讲该怎样读《九章算术》。

    有人认为 的中学生便应该很容易阅读和理解《九章算术》，其原因大约有两条：其一，《九章算术》中的题目大都可以用现代中小学数学课本中的方法解决。其二，相对于现代数学学术著作的写法，《九章算术》是一本设置“门槛比较低”的学术著作。由于中国古代数学“实用性”和“工具化”的特性，《九章算术》的例题大都来源于日常生产生活，并不抽象，同时又强调算法的可操作性，读者可以不纠结理论或算法来由，直接效仿使用。刘徽在《九章算术注》序中特别提到：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也”，也就是说，（至于）只是教授现成的算法，那就和圆规、曲尺及度量工具一样，人人都可以得到使用，并不特别困难。确实，《九章算术》并不是一本崖岸自高的作品，再加上由于时代进步所带来的巨大知识优势，使得中学生“读懂”《九章算术》成为了可能。

    但是，这样的看法还多少反映了人们对《九章算术》的数学，特别是《九章算术》与现代数学之间差别的认识偏差。事实上，在漫长的近两千年中，《九章算术》却也从来不是一本“基础读物”。即便在中国古代数学 发达的宋元时期，《九章算术》作为高等数学教材，官学学生在学习了《五曹算经》、《应用算法》等基础教材之后，尚需要至少一年的时间修习《九章算术》 ；而在杨辉的私学之中，同样在学习了一干基础教材之后,光《九章算术》中的“方田”一章，仍需学习超过两个月 。若说 中学生已普遍达到中国古代数学 水平的入门标准，未免有些言过其实。 关键的是，《九章算术》的体例特点和其所代表的中国古代数学内涵，和现代数学的常规表达方式大相径庭，也不如后者清晰。所以要真正“读懂”《九章算术》 不容易。

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传统中国实行人身依附的知识系统。中国知识分子参与的知识系统，是被统治阶级牢牢控制的、为专制统治选拔后续官僚的科举知识系统。就中国知识分子而言，科举制度对其人格、志趣和精神的养成，超过了其他任何因素。

康有为出于对光绪皇帝的知遇之恩，坚持要在一棵树上吊死，实行了所谓“尊帝讨逆”的方针，将慈禧排斥在变法之外，扩大了打击对象，犯了盲动主义的错误，这才惹恼了慈禧本人，激起她的迅速反扑。

由于康有为身体里始终流淌着旧时代君臣一体的血液，注定了他只能用儒家的孔教传统嫁接西方的立宪主义，采用传统的变法理念搞一场划时代的改革。他是一个富于想象的理想主义者，在思想上敢于无所顾忌；他又是一个不可救药的改良主义者，在行动上拒绝突破·。他因而成为保守派和革命派共同鄙视的恶徒。

中国人应当知道究竟是政府为人民存在，还是人民为政府存在。----福泽谕吉

文明虽然是人类的唯一目标，但其路径可以是多元化的，因此具体到政治制度的选择上，假如有利于国家文明，政府的形式可以是君主的，也可以是共和的。

传统社会，给予知识分子唯一的进身之阶就是官场，不论个人有多大才能，当官做事业必须是经过这一制度的过滤而后方可，这必将造成知识分子对这种制度的强烈依赖性。他们怎能不趋之若鹜，怎能不明哲保身，又怎能长久地保持所谓独立自由的思考？于是这种制度培养出来的人才，不仅正直之气消磨殆尽，更不要谈对国家、民族的报效之心了。即使通过考试而取得了官位和功名的知识分子，大多也是摧眉折腰、蝇营狗苟而少有信仰与原则。他们除了摘取功名富贵之外，从无远大志向和广阔胸怀，甚至连自己的皇帝主子也不欲为之尽忠效命。

越是来之不易的东西，人们对其越加珍惜，这种珍惜往往是非原则和极度自私的。因而即便是国难当头，读书人也只记者不能误了自己的功名。

长期侵淫在险恶的官场，中国知识分子噤若寒蝉，不愿冒牺牲身家性命的危险去关心与己无关的外部世界。在巨大的风险和现实的利益面前，他们自觉选择了安于现状，明哲保身。长此以往，他们便也慢慢蜕化成为毫无独立思考能力的体制内的应声虫。

日本知识分子与中国知识分子相比，最大的特点就是他们没有被体制化，没有超乎寻常的生存压力，没有生死存亡的外在刺激。如果说在官本位的中国封建社会，知识分子要有所作为，大都要通过做官以实现自己的志向与抱负，特别是明清时期更是如此；而在日本，知识分子的志向、抱负却未必非要通过做官来实现。他们可以通过各种技能或凭一技之长获得社会的承认，此种情形在西学东渐之后尤为明显。当时的中日两国虽然同为专制社会，但日本社会的士农工商四民等级反而使日本知识分子处于社会上层。

由于日本没有科举制度，所以对西学的钻研，也是知识分子出人头地、通向成功的一条途径；中国知识分子基本上只有通过科考而别无他途，西学对其自然无关紧要。

西方人重逻辑推理，中国人重直觉顿悟；西方人持科学思维，中国人持艺术思维；科学主张理性，重法则；艺术只谈境界，重体会。

不读中国历史，不知中国的伟大；不读世界历史，不知中国的落后。

近代外交的成败势强，则理便讲得通；势弱，就无理可讲。再会讲理的外交官，顶多是败的程度好一些，始终难逃失败的命运。

不平等条约的根源一部分由于我们的无知，一部分由于我们的法制未达到近代文明的水准

----蒋廷黻

（李鸿章）的外交思路和技巧，与其说是学自洋务实践，不如说是讲求权诈的中国特色政治手腕在外交领域的运用。

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